Sorbonne UniversitéFaculté de MathématiquesMaster Mathématiques et Applications

Cours fondamental 2 (Com)

Combinatoire des polytopes

Arnau Padrol (Travaux dirigés par Vincent Pilaud (LIX, École Polytechnique))

Contact : arnau.padrol à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

L'objectif de ce cours est de proposer un parcours initiatique à la combinatoire géométrique.
Le cours sera centré sur la théorie combinatoire des polytopes et ses connexions avec la convexité, l'optimisation et la programmation linéaire, la topologie combinatoire, la théorie des matroides orientés, et la complexité algorithmique des problèmes de réalisation.

Il comportera deux parties aux objectifs différents : la première partie donnera un panorama des résultats fondamentaux de la théorie combinatoire des polytopes (Minkowski-Weyl, treillis des faces, relation d'Euler, théorèmes de la borne supérieure et inférieure), tandis que la deuxième partie approfondira une direction particulière en se focalisant sur les espaces de réalisation de polytopes et le célèbre théorème d'universalité de Mnëv.

L'un des enjeux est d'apprendre à appréhender la géométrie en grande dimension.
Le cours donnera différentes approches pour générer, manipuler et comprendre des polytopes au delà de la dimension $3$ (diagrammes de Schlegel, dualité de Gale).
Par ailleurs, le cours soulignera que le passage en dimension plus grande que $4$ fait apparaître des phénomènes qui contredisent l'intuition et des résultats classiques de la dimension $3$.
Par exemple, on montrera l'existence de polytopes dont le graphe est complet, de polytopes sans réalisation rationnelle, et la difficulté algorithmique de réaliser géométriquement les $3$-sphères (aussi difficile que la théorie existentielle des réels).

Contenu

Prérequis

Pas de prérequis particuliers (hormis les bases de l'algèbre linéaire et de la géométrie affine).

Bibliographie