Topologie algébrique

Alexandru Oancea (Travaux dirigés par Vincent Humilière)

Contact : alexandru.oancea à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~alexandru.oancea/2016-M2-TOPO-ALG/topo-alg-2016.html

Présentation

La topologie algébrique fait le lien entre la géométrie et l'algèbre. L'on se propose de distinguer des objets topologiques en leur associant des invariants de nature algébrique (nombres entiers, groupes, anneaux, modules ...) Les idées et images issues de la topologie algébrique irriguent l'ensemble des mathématiques modernes.

Le but de ce cours est d'approfondir les notions d'homologie et de cohomologie à travers l'étude des variétés et des fibrés vectoriels.

Les variétés lisses sont des objets d'une importance centrale en topologie et géométrie. Les fibrés vectoriels modélisent la donnée d'informations supplémentaires de nature infinitésimale le long de la variété base. Les deux thèmes phare que nous allons poursuivre dans ce cours sont la théorie des classes caractéristiques et la dualité de Poincaré. En chemin, nous allons aussi développer la théorie de l'obstruction.

Les notes de cours actuellement disponibles concernent surtout la partie du cours dédiée aux classes caractéristiques. Elles évolueront et s'enrichiront au cours du semestre sur la partie concernant la dualité de Poincaré.

Contenu

Groupes d'homotopie d'ordre supérieur.
Homologie et cohomologie singulière.
Cohomologie des grassmanniennes et point de vue axiomatique sur les classes caractéristiques: Stiefel-Whitney, Chern.
Point de vue de la théorie de l'obstruction sur les classes de Stiefel-Whitney et Chern.
Classe fondamentale. Dualité de Poincaré. Classe d'Euler.
Calculs cohomologiques pour certaines variétés algébriques.

Prérequis

Il est souhaitable d'avoir suivi un cours de topologie algébrique de niveau M1. En particulier, l'objectif de ce cours n'est pas de présenter les bases de l'homologie et de la cohomologie. L'on supposera connues leurs propriétés formelles, et l'on se proposera de donner du contenu géométrique à ces notions. Nous utiliserons librement dans le cours des notions de topologie différentielle. Il est donc fortement conseillé d'avoir une connaissance du langage de la géométrie différentielle (variétés, applications lisses, espaces tangents), tel que rappelé par exemple dans le cours introductif "Géométrie différentielle et riemannienne". Nous allons discuter le théorème de Sard et certaines de ses applications, mais il sera utile d'en avoir déjà entendu parler.

Bibliographie

Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
Glen Bredon. Geometry and Topology. Springer
John Milnor, Jim Stasheff. Characteristic classes. Princeton Univ. Press
Henri Paul de Saint Gervais. Analysis situs. Topologie algébrique des variétés. http://analysis-situs.math.cnrs.fr
Frédéric Paulin. Topologie algébrique élémentaire. http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_topoalg.pdf
Allen Hatcher. Vector bundles and K-theory. https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf