Cours spécialisé (HFE, Phy)
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Pas de notes de cours prévues.
Une grande partie de la théorie des matrices aléatoires tourne autour des propriétés limites du spectre d'une matrice aléatoire $A$, lorsque la taille $N$ de la matrice $A$ tend vers l'infini. Un exemple remarquable d'une telle approche est la loi du demi-cercle de Wigner, qui prédit le nombre de valeurs singulières de la matrice $A$ qui tombent dans un intervalle donné lorsque $N$ tend vers l'infini. Dans ce cours, nous étudierons des résultats asymptotiques et non asymptotiques.
De nombreuses applications nécessitent une compréhension de ce qui se passe pour un $N$ fixe plutôt que dans la limite. Par exemple, en analyse numérique, on quantifie (arrondis) les nombres réels en les mettant dans un ordinateur. La quantification est habituellement modélisée comme une perturbation aléatoire légère. La stabilité d'un système d'équations linéaires $Ax = b$ sous la quantification dépend du conditionnement de la matrice aléatoire $A$, le rapport des plus grandes et des plus petites valeurs singulières de $A$. Il faut donc comprendre le spectre des matrices aléatoires dans les dimensions finies $N$ (pas seulement dans la limite). Une telle théorie de matrices aléatoires non asymptotique sera le contenu de la première partie de ce cours. Il mettra l'accent sur des techniques non-asymptotiques ``douces" plutôt que sur des résultats "durs", qui pourraient être utiles pour d'autres problèmes. Ces techniques incluront: les inégalités de concentration, les inégalités de martingale et diverses méthodes de géométrie convexe asymptotique.
La deuxième partie du cours portera sur les résultats asymptotiques et leurs applications à la physique mathématique ainsi qu'à la théorie des nombres. Nous allons étudier la limite lorsque $N$ tend vers l'infini et en particulier les statistiques d'espacements des valeurs propres pour l'ensemble gaussien unitaire et gaussien orthogonal (GUE/GOE). Nous discuterons ensuite comment les distributions d'espacements asymptotiques pour les ensembles GUE et GOE servent comme modèles des distributions d'espacements des valeurs propres dans divers problèmes spectraux en physique mathématique, en mettant l'accent sur les systèmes quantiques chaotiques et désordonnés. Une autre application surprenante concerne l'étude des statistiques des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Nous discuterons comment la théorie des matrices aléatoires permet de calculer les moments de la fonction zêta de Riemann et plus généralement les fonctions $L$ et leur importance dans la théorie des nombres.