Marches aléatoires sur les groupes

Anna Erschler

Contact : anna.erschler à ens.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Il y a une double motivation possible pour une étude des marches aléatoires sur les groupes. Du point de vue de la théorie des groupes, les marches aléatoires sur les groupes fournissent de nombreux invariants probabilistes du groupe. Dans le cas de groupes de type fini, ces invariants sont étroitement liés à la géométrie des graphes de Cayley correspondants. Un problème plus difficile qui reste un défi est de relier les invariants probabilistes aux proprétés algébriques du groupe en question.

Du point de vue des marches aléatoires, les espaces homogènes fournissent un contexte riche qui généralise des exemples classiques de marches aléatoires sur Z^d. L'invariance du noyau de Markov par rapport à l'action de groupe impose la structure naturelle et des propriétés stochastiques intéressantes de marches aléatoire et de leurs trajectoires.

Les sujets du cours incluront la récurrence / la transience, les probabilités de transition, l'isopérimétrie, la vitesse de la fuite et l'entropie, comportement asymptotique des trajectoires, bord de Martin et de Poisson des marches aléatoires.

Contenu

les estimations gaussiennes de Carne Varopoulos
les inégalités entre les probabilités de transition et le profil isopérimétrique
l'absence de fonctions harmoniques positives pour les marches aléatoires symétrique sur les groupes nilpotents (Margulis)
le critère d'entropie (Kaimanovich Vershik et Derriiennic)
charactérisation de groupes moyennables par l'existence de la mesure dont le bord de Poisson est trivial (Furstenberg, Rosenblatt, Kaimanovich Vershik)
la construction des mesures dont le bord de Poisson est non triviale sur tous les groupes de type fini, à l'exception de groupes virtuellement nilpotents (Hartmann, Frisch, Tamuz et Vahidi-Ferdowsi, 2018)

Prérequis

Aucun prérequis spécifique en probabilité n'est requis.

Bibliographie

W. Woess. Random Walks on Infinite Graphs and Groups. Cambridge Tracts in Mathematics 138, Cambridge University Press,2000
V.A.Kaimanovich, A.M.Vershik. Random walks on discrete groups: boundary and entropy.. Ann. Probab. 11 (1983), no. 3, 457 - 490.
R. Lyons, Yu. Peres. Probability on trees and networks.. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, 42. Cambridge University Press, New York, 2016 http://mypage.iu.edu/~rdlyons/prbtree/book_corr.pdf
J. Frisch, Y. Hartman, O. Tamuz, P. Vahidi Ferdowsi. Choquet-Deny groups and the infinite conjugacy class property. preprint 2018 https://arxiv.org/abs/1802.00751