Cours fondamental 2 (GA)

Théorie de l'intersection

Antoine Ducros

Contact : antoine.ducros à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le célèbre théorème de Bezout en géométrie projective assure que sur un corps de base algébriquement clos, l'intersection de deux courbes projectives planes de degrés respectifs $d$ et $d'$ sans composante irréductible commune comporte exactement $dd'$ points, à condition de les compter avec multiplicités.

On peut considérer ce type de résultat comme le point de départ de la théorie de l'intersection, qui joue un rôle majeur dans toutes les déclinaisons de la géométrie algébrique (complexe, arithmétique...) ; elle vise à étudier en toute généralité l'intersection de deux sous-variétés d'une variété donnée, les notions de multiplicité qui y sont associées, la façon dont l'intersection varie lorsqu'on «fait bouger» ces sous-variétés...

Le but de ce cours est de présenter les bases de cette théorie, en suivant pour l'essentiel le livre remarquable de Fulton.

Contenu

• Cycles, diviseurs de Weil et de Cartier, fibrés en droite, diviseur d'une fonction, équivalence rationnelle.
• Éclatements. Intersection d'un cycle avec un diviseur de Cartier, commutativité dans le cas de deux diviseurs de Cartier.
• Fibrés vectoriels et projectifs, classes de Segre et de Chern.
• Déformation au cône normal.
• Intersection d'un cycle avec un sous-schéma régulièrement immergé. Théorie de l'intersection sur une variété lisse.

Prérequis

Bibliographie

• William Fulton. Intersection Theory.