Cours introductif (HFE, Com)
Contact : dario.cordero à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Ce cours a pour but de présenter des techniques variées permettant d'établir des inégalités fonctionnelles et géométriques,
techniques et inégalités qui peuvent être utiles dans divers domaines des mathématiques. Ces inégalités seront souvent liées à de la convexité ou à de la "courbure positive".
Nous commencerons par l'inégalité de Brunn-Minkowski et l'inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien. Nous en déduirons des inégalités de concentration pour la mesure gaussienne. Comme application de ce phénomène de concentration, nous établirons le théorème de Dvoretzky qui affirme qu'en grande dimension, les sections (aléatoires) d'un corps convexe sont sphériques (ou plutôt ellipso\"idales). Nous présenterons aussi le lemme de Johnson-Lindenstrauss utilisé en analyse de données.
Nous poursuivrons l'étude des inégalités gaussiennes en introduisant la méthode du semi-groupe de la chaleur. Nous regardons en particulier les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmique, d'hypercontractivité et l'isopérimètrie gaussienne.
Nous regardons ensuite les versions discrètes des inégalités spectrales de type Poincaré, en lien avec la constante de Cheeger. Nous étudierons les graphes aléatoires d'Erdös-Rényi et les graphes expenseurs. Si le temps le permet, nous regardons le semi-groupe de Walsh sur le cube discret et les versions discrètes de l'hypercontractivité.
Enfin, la dernière partie sera consacrée à la méthode appelée "localisation" ou "en aiguilles", dont l'idée est de localiser l'inégalité que l'on souhaite montrer sur un objet de dimension $1$. Cette technique a une longue histoire; elle a été mise en valeur par Kannan-Lovasz-Simonovits dans l'étude des inégalités de Poincaré sur les corps convexes. Nous regarderons aussi la version géométrique due à Nazarov-Sodin-Volberg avec comme application des inégalités d'inverse Hölder pour des fonctions polynomiales de vecteurs aléatoires log-concaves. Si le temps le permet, nous donnerons également les versions riemanniennes (ou du moins sphériques) qui permettent d'établir des inégalités isopérimétriques (théorème de Levy-Gromov).