Initiation au calcul pseudo-différentiel

Nicolas Lerner

Contact : nicolas.lerner à imj-prg.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~lerner/index.pseudom2.html

Présentation

Le but de ce cours est de fournir une présentation élémentaire de quelques versions du calcul pseudo-différentiel. Nous commencerons par des rappels d'analyse de Fourier. Nous étudierons ensuite quelques formules de quantification et donnerons quelques résultats de base sur le calcul pseudo-différentiel pour des opérateurs dotés de symboles appartenant aux classes les plus simples ; on s'intéressera notamment aux propriétés de continuité ($L^2$ et Sobolev), de composition et de développement asymptotique. Nous donnerons ensuite une démonstration complète de l'inégalité de Gårding à l'aide de la quantification anti-Wick. Nous fournirons quelques applications à la régularité des solutions d'EDP (micro)elliptiques et à la propagation des singularités pour des EDP de type principal réel. Ensuite nous étudierons une version semi-classique du calcul pseudo-différentiel et fournirons quelques applications à la théorie spectrale.

Contenu

Analyse de Fourier
Quantification, fonctions de Wigner
Algèbres d'opérateurs pseudo-différentiels
Inégalités de Gårding
Calcul semi-classique
Applications

Prérequis

Intégration, Calcul différentiel, Analyse de Fourier.

Bibliographie

Hörmander, Lars. The Analysis of Linear Partial Differential Operators III. Springer-Verlag, Classics in Mathematics, Berlin 2007.
Lerner, Nicolas. Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
Zworski, Maciej. Semiclassical Analysis. AMS, Graduate Studies in Mathematics, vol. 138.
Dimassi, Mouez; Sjöstrand, Johannes. Spectral asymptotics in the semi-classical limit. London Mathematical Society Lecture Note Series, 268. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
Métivier, Guy . Para-differential calculus and applications to the Cauchy problem for nonlinear systems.. Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi (CRM) Series, 5. Edizioni della Normale, Pisa, 2008.
Saint Raymond, Xavier . Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.