Cours fondamental 1 (HFE)
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Ce cours se veut une présentation de résultats récents sur la théorie spectrale des opérateurs aléatoires dans le régime localisé par le biais du modèle le plus simple, le modèle d'Anderson.
Introduits en physique de la matières condensée dans les années 50, les opérateurs aléatoires modélisent la propagation des électrons dans un milieu désordonnée. L'hypothèse stochastique se justifie par la présence homogène d'impuretés dont seules sont connues des caractéristiques macroscopiques comme la densité.
Le caractère aléatoire et homogène du potentiel confère aux opérateurs aléatoires de nombreuses propriétés intéressantes, en particulier, une propriété d'ergodicité qui assure que, de nombreux points de vue, la famille d'opérateur se comporte comme un opérateur unique. Cette liberté est alors exploitée pour l'étude de ces opérateurs.
L'une des caratéristiques de ces modèles est la présence d'un régime localisé i.e. d'intervalles dans le spectre qui ne sont constitués que de spectre ponctuel et tel que les fonctions propres associées aux valeurs propres dans ces intervalles sont à décroissance exponentielle.
L'analyse des opérateurs aléatoires se situe aux confins de plusieurs domaines des mathématiques, la théorie spectrale et celle des probabilités mais aussi de l'analyse harmonique et de la théorie des équations aux dérivées partielles.