Méthode de Nash-Moser et EDP non-linéaires

David Gerard-Varet

Contact : david.gerard-varet à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

L'objet du cours est une méthode remarquable introduite par Nash et développée par Moser, visant à résoudre des EDO ou des EDP non-linéaires. Cette méthode a été appliquée avec succ\ès à différents problèmes d'analyse et de géométrie: plongement isométrique des variétés, conjugaison des difféomorphismes du cercle, théorème KAM, amortissement Landau...
Le but de la première partie du cours sera de présenter cette méthode, et certaines de ses applications les plus connues. Dans une seconde partie, nous nous intéresserons à son apport à la théorie des EDP, et son lien avec des problèmes ou notions connexes (régularité des solutions d'équations elliptiques, paraproduit).

Contenu

Rappels sur les méthodes de point fixe
Méthode de Nash-Moser : cadre analytique
Application à la conjugaison des difféomorphismes du cercle
Méthode de Nash-Moser : cadre $C^k$ ou Sobolev
Lien avec les EDP

Prérequis

Le cours ne nécessite pas d'autres prérequis que les cours d'analyse classiques de L3/M1 (calcul différentiel, analyse de Fourier, espaces de Banach). Avoir quelques notions sur les EDP (notamment sur les solutions faibles d'EDP elliptiques) peut aider dans la seconde partie du cours, mais n'est pas indispensable.

Bibliographie

T. Tao . The Nash-Moser iteration scheme. https://www.math.ucla.edu/~tao/
C.E. Wayne. An introduction to KAM theory. http://math.bu.edu/people/cew/Overview.html
S. Alinhac, P. Gerard. Opérateurs pseudo-différentiels et Théorème de Nash-Moser. EDP Sciences
Q. Han, F. Lin. Elliptic partial differential equations. Courant Lecture Notes, AMS