Cours spécialisé (GT)
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Étant donne une action d'un groupe $G$ sur un espace métrique $X$, on peut étudier la relation entre les propriétés de $G$ et la métrique de $X$. Un cas important est la situation
où $G$ et un groupe de type
fini et $X$ est un graphe de Cayley de $G$. Quelques observations sont immédiates ou faciles à démontrer: par exemple, si $G$ est un produit direct de deux groupes, alors le graphe de Cayley est un produit direct de deux graphes de Cayley associés; si $G$ est un produit libre de deux groupes (de cardinalité au moins $2$ et $3$), alors "l'espace des bouts" de $G$ est infini; si $G$ possède un sous-groupe libre, alors le graphe de Cayley
de $G$ contient un sous-arbre régulier, et sa croissance est exponentielle.
Il est souvent difficile de caractériser les propriétés algébriques en termes de la métrique. La preuve de telles caractérisations peut révéler les liens profonds entre l'algèbre et la géométrie.
La métrique d'un graphe de Cayley dépends du choix de générateurs de $G$, mais pas beaucoup: les graphes de Cayley de $(G, S)$ et $(G, S')$ sont "quasi-isométriques".
Un groupe est rigide par rapport aux quasi-isométries si chaque groupe qui est quasi-isométrique à
$G$ est commensurable avec $G$. Une propriété $P$ de groupes est géométrique si chaque groupe qui est quasi-isométrique à un groupe avec la propriété $P$ satisfait aussi cette propriété. Par exemple, on peut démontrer, en utilisant un théorème de Stallings, que les groupes libres sont rigides. C'est un corollaire du théorème de Gromov sur la croissance polynomiale que la propriété d'être nilpotent est géométrique et que les groupes abéliens sont rigides par rapport aux quasi-isométries. Par contre, il y a des propriétés qui ne sont pas géométriques . Par exemple,
la construction de Burger et Mozes montre qu'un groupe simple peut être quasi-isométrique à un produit directe de deux groupes libres.
Pour d'autres propriétés de groupes, même
très basiques, les questions de la géométricité et de la rigidité restent ouvertes. Par exemple, il n'est pas connu si chaque groupe nilpotent est rigide.
Nous allons étudier des invariants quasi-isométriques des groupes : la croissance, l'isopérimétrie, l'hyperbolicité, ainsi que des propriétés asymptotiques de diverses classes de groupes: de groupes nilpotents, de groupes résolubles, de groupes agissants sur des arbres,
de groupes à petite simplification et de groupes hyperboliques.