Introduction aux formes modulaires

Pierre Charollois

Contact : pierre.charollois à imj-prg.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

Ce cours est une introduction aux formes modulaires.

Ce sont des fonctions holomorphes sur le demi-plan de Poincaré qui satisfont une propriété d'invariance sous l'action d'un sous-groupe d'indice fini de $SL_2(\mathbb Z).$

Elles possèdent des propriétés arithmétiques remarquables, encodées notamment dans leurs coefficients de Fourier, ou encore dans leur évaluation en des nombres quadratiques imaginaires (points à Multiplication Complexe).

Contenu

Formes et fonctions modulaires; notion de poids et de niveau.
Exemples : séries d'Eisenstein, fonctions thêta, fonction $\Delta$ de Ramanujan, l'invariant $j$.
Opérateurs de Hecke, formes propres, et leurs fonctions L.
Multiplication Complexe.Théorème de Damerell.
Produit scalaire de Petersson. Polynôme de périodes.
Exemples de formes modulaires analytiques réelles. Formule limite de Kronecker.

Prérequis

Notes de cours de M1 théorie des nombres de l'UPMC par J. Nekovář, notamment les chapitres "Gauss" et "Dirichlet".

Bibliographie

J.-P. Serre. Cours d'arithmétique.
G. Shimura. Elementary Dirichlet series and modular forms.
A. Weil. Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker.
Diamond-Shurman. A first course in modular forms.
J. Nekovář. Cours de M1 Théorie des Nombres 2016-2017 à l'UPMC. https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/nt/