Introduction aux faisceaux pervers

Antoine Chambert-Loir (Travaux dirigés par Olivier Dudas)

Contact : antoine.chambert-loir à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2017-18/pervers/index.xhtml

Présentation

Les propriétés homologiques des variétés algébriques lisses sont particulièrement remarquables (dualité, notamment). La cohomologie d'intersection et les faisceaux pervers ont été introduits au début des années 80 par Goresky/MacPherson et Beilinson/Bernstein/Deligne/Gabber pour permettre d'étudier agréablement les variétés singulières.

Dans ce cours, qui se veut une introduction à la théorie des faisceaux pervers, l'accent sera mis sur la compréhension des outils catégoriques et homologiques nécessaires à leur définition dans le cadre de la géométrie complexe.

Ces notions seront parallèlement illustrées en TD.

Immédiatement après leur définition, les faisceaux pervers ont trouvé une application en théorie des représentations où il est nécessaire de comprendre la géométrie de certaines variétés singulières (cône nilpotent par exemple). On verra ainsi dans la seconde partie du cours (par Emmanuel Letellier) comment certains faisceaux pervers (faisceaux caractères introduits par Lusztig) permettent de construire géométriquement les caractères des groupes réductifs sur des corps finis.

Contenu

Catégories triangulées
Cohomologie des faisceaux, 6 opérations
T-structures
Faisceaux pervers

Prérequis

Théorie des faisceaux, théorie élémentaire des catégories, algèbre homologique élémentaire, topologie algébrique élémentaire (revêtements, groupe fondamental, homologie et cohomologie singulière), notions de géométrie algébrique.

Bibliographie

S. Mac Lane. Categories for the working mathematician. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag (1971)
M. Kashiwara, P. Schapira. Categories and sheaves. Grundlehren der math. Wissenschaften, vol. 332 (2006), Springer-Verlag
S. Gelfand, Yu. Manin. Methods of homological algebra. Springer Monographs in Mathematics (2003), Springer-Verlag
B. Iversen. Cohomology of sheaves. Universitext, Springer-Verlag (1986)
A. Neeman. Triangulated categories. Annals of math. studies, vol. 148, Princeton University Press (2001)
A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne. Faisceaux pervers. Astérisque, no. 100 (1981), Soc. math. France