Cours fondamental 1 (GA, GC)

Topologie des variétés algébriques

Claire Voisin

Contact : claire.voisin à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

La théorie de Hodge fournit les notions de structure de Hodge développée par Griffiths et de structure de Hodge mixte introduite par Deligne. C'est un outil puissant pour étudier la topologie des (familles de) variétés algébriques complexes et j'en présenterai les principaux résultats, ainsi que certaines applications récentes. L'un des aspects fondamentaux du domaine est l'interaction entre données transcendantes (topologie) et données algébriques (cycles algébriques). La théorie de Hodge nous donne conjecturalement un moyen de mesurer le coniveau, c'est-à-dire la codimension du support de la partie transcendante de la cohomologie, et selon Bloch et Beilinson, celui-ci pourrait également être calculé via l'étude des groupes de Chow. J'expliquerai comment ces conjectures se formulent via la notion de décomposition de la diagonale et décrirai quelques progrès récents.

Contenu

• Structures de Hodge, polarisations, structures de Hodge mixtes. Existence et propriétés fondamentales (semi-simplicité; les morphismes sont stricts).
• Applications à la topologie des variétés algébriques:
  a) Algèbres de cohomologie.
  b) Théorème global des cycles invariants et théorème de décomposition.
  c) Coniveau de Hodge et coniveau algébrique. Diverses formulations de la conjecture de Hodge généralisée.
• Cycles algébriques et coniveau. Groupes de Chow et théorème de Mumford. Décomposition de la diagonale généralisée et conjecture de Bloch généralisée. Cas des hypersurfaces très générales.

Prérequis

Bibliographie