Structures à homotopies près

Muriel livernet

Contact : livernet à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Résumé: Etant donné un espace topologique $X$, on peut considérer son espace de lacets $\Omega X$. Ce dernier a l'avantage d'être muni d'une structure multiplicative, qui n'est pas associative mais qui est associative à homotopie près. Stasheff a caractérisé les espaces de lacets en montrant qu'ils étaient associatifs à "toutes" homotopies près: ce sont des $A_\infty$-espaces. Si l'on considère un espace de lacet double, la multiplicaiton est non seulement associative à "toutes" homotopies près mais est aussi commutative à une homotopie près. Au bout de la chaine se trouvent les espaces de lacets infinis, qui ont une structure commutative à toutes homotopies près. Les opérades ont été inventées dans les années 60 par Boardman et Vogt, afin de comprendre, en étendant les travaux de Stasheff, les structures sur les espaces de lacets $n$-itérés. C'est ce que l'on appelle les structures $E_n$. Dans ce cours nous présenteront certains développements récents sur ce sujet.

Objectifs: Comprendre les structures $E_n$ à l'aide de la théorie des opérades, ainsi que certains modèles et leurs utilisations en homologie de Hochschild supérieure.

Contenu

Espaces de lacets, $A_\infty$-espaces. Opérades topologiques, opérades des petits disques
Des opérades topologiques aux opérades algébriques via le complexe des chaines singulières. Présentation de l'homologie des opérades des petits disques.
Opérades $E_n$ en topologie et en algèbre. Différents modèles d'opérades $E_n$ d'après Berger et McClure et Smith.
Exemple de structures $E_\infty$: le complexe des cochaines singulières d'un espace.
Homologie de Hochschild supérieure.
Questions d'actualités.

Prérequis

Solides bases en topologie algébrique. Des notions de catégories modèles et d'opérades pourront être utiles.

Bibliographie

C. Berger et B. Fresse. Combinatorial operad actions on cochains. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137 (2004), 135-174
J.-L. Loday et B. Vallette. Algebraic Operads. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 346, Springer-Verlag (2012)
M. Livernet et B. Richter. An interpretation of En-homology as functor homology. Mathematische Zeitschrift, Volume 269, Numbers 1-2 / Oktober 2011, 193--219
Michael A. Mandell. Cochains and Homotopy Type. Publ. Math. IHES, 103 (2006), 213-246.
Y. I. Manin. Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999
J. McClure et J. Smith. A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. In Recent progress in homotopy theory, 293, Contemp. Math., pages 153-193. AMS, Providence, RI, 2002.