Modèles, groupes, modules (1)

Adrien Deloro

Contact : adrien.deloro à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~adrien.deloro/index.php?topic=teaching

Présentation

Le cours, en deux volets, abordera la théorie des modèles des groupes linéaires.

Le premier volet commencera par rappeler les notions de base employées tant du point de vue logique qu'algébrique ; on présentera notamment le concept de définissabilité. Puis seront abordés divers cadres modèle-théoriques pour l'étude des groupes linéaires. On s'orientera rapidement vers le contexte des groupes de rang de Morley fini, qui généralisent à bien des égards les groupes algébriques affines.

Contenu

Théorie des modèles
Groupes algébriques affines
Constructibilité et définissabilité
Conditions de chaîne
Groupes de rang de Morley fini

Prérequis

Du point de vue modèle-théorique, toutes les notions nécessaires seront présentées. Mais une familiarité préalable avec la logique du premier ordre et la définissabilité ne nuit jamais (v. lectures).
De même, aucune connaissance formelle sur les groupes algébriques n'est requise.
En revanche, tous les résultats usuels d'algèbre linéaire (d'un bon niveau L2) seront supposés connus.
Les bases de la théorie des groupes (conjugaison, calculs de commutateurs, nilpotence, résolubilité) sont supposées familières.

Lectures recommandées.
Le livre de Poizat n'est conseillé qu'à létudiant ayant déjà des bases en théorie des modèles. Celles-ci peuvent s'acquérir dans le traité de Marker, par exemple.
Les premiers chapitres de l'ouvrage de Borovik et Nesin sont accessibles à tous et seront abordés en cours.
Sur le site de l'ICJ on trouve diverses resources liées à des enseignements d'esprit voisin : http://math.univ-lyon1.fr/~logicum/logique/enseignements/ens-log.html
Enfin signalons des notes d'Amador Martin-Pizarro : http://math.univ-lyon1.fr/~pizarro/MTP7.pdf

Bibliographie

Poizat, Bruno. Groupes stables. Nur al-Mantiq wal-Maʾrifah, Lyon, 1987 ; ISBN 2-9500919-1-1
Borovik, Alexandre et Nesin, Ali. Groups of finite Morley rank. Oxford Logic Guides, 26. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994 ; ISBN 0-19-853445-0
Marker, David. Model Theory. An introduction. Graduate Texts in Mathematics, 217. Springer-Verlag, New York, 2002 ; ISBN 0-387-98760-6