Introduction aux schémas en groupes

Patrick Polo

Contact : patrick.polo à imj-prg.fr

Notes de cours : http://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/

Présentation

Le but du cours est d'introduire à la théorie des schémas en groupes (de type fini) sur un corps. Par rapport à la théorie classique présentée dans les livres de Borel ou Springer, on s'autorise à considérer des schémas en groupes non réduits, comme le groupe des racines p-ièmes de l'unité sur un corps de caractéristique p. Cette flexibilité permet de simplifier certains aspects de la théorie, notamment la discussion des questions de séparabilité. On insistera aussi sur la définition de certains schémas en groupes (ou quotients) en termes des foncteurs qu'ils représentent.

Contenu

Foncteurs représentables et lemme de Yoneda.
Schémas en groupes sur un corps.
Construction des quotients G/H.
Applications: démonstration des thm. de conjugaison des tores maximaux et sous-groupes de Borel.
Si le temps le permet: schémas en groupes réductifs déployés sur Z
ou bien, au contraire, un aperçu du cas non déployé: groupes semi-simples sur R.

Prérequis

Mon cours fondamental II (et, si possible, celui de F. Loeser).

Bibliographie

J. C. Jantzen. Representation of algebraic groups (2nd ed.). MSM 107, Amer. Math. Soc.
W. C. Waterhouse. Introduction to affine group schemes. GTM 66, Springer-Verlag
M. Demazure, A. Grothendieck. SGA3, t.1 et 3, nouvelle édition. DM 7 et 8, Soc. Math. France
M. Demazure, P. Gabriel. Groupes algébriques. Masson et North-Holland