Cours fondamental 2 (Dyn)
Introduction à la dynamique hyperbolique
Frédéric Le Roux
Contact : frederic.le-roux à imj-prg.fr
Présentation
Le but de ce cours est de présenter une introduction à la théorie des systèmes dynamiques (uniformément) hyperboliques à partir d'exemples simples, dans le cas à temps discret ou temps continu. Nous étudierons en particulier les perturbations des automorphismes hyperboliques du tore et illustrerons sur cet exemple les notions fondamentales de variétes stable\instables et de stabilité structurelle. Puis nous aborderons l'étude des propriétés ergodiques des flots géodésique et horocyclique sur les surfaces hyperboliques (quotients hyperboliques du demi-plan de Poincaré).
Contenu
- Rappels de théorie ergodique et de théorie spectrale des systèmes dynamiques.
- L'application d'Arnold sur le tore $\mathbb{T}^2$. Directions stable/instable, argument de Hopf, ergodicité, mélange. Partitions de Markov.
- Perturbations des automorphismes hyperboliques du tore : notion de variétes stable/instable. Théorème de la variété stable. Stabilité structiurelle.
- Le demi-plan de Poincaré, géométrie hyperboliques, SL(2,R), quotient, surfaces hyperboliques.
- Flot géodésique, horocyclique, identification des variétés stable\instable. Ergodicité du flot géodésique, mélange.
- Unique ergodicité du flot horocyclique (surfaces compactes), mélange.
Prérequis
Cours Math Fondamental Systèmes Dynamique 1.
Bibliographie
- B. Bekka, M. Mayer. Ergodic Theory and Topological Dynamics for Group Actions on homogeneous Spaces.