Cours fondamental 1 (HFE)

Prolongement unique et applications

Camille Laurent

Contact : laurent à ann.jussieu.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

Dans ce cours, on s'intéressera à la propriété suivante de prolongement unique pour certaines classes d'opérateurs différentiels $P$:

Soit un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, et un petit ouvert $U\subset\Omega$, a-t-on la propriété?
$$
Pu = 0 \textrm{ sur } \Omega, \quad u|_{U}=0 \Longrightarrow u= 0 \textrm{ sur } \Omega.
$$
Dans certains cas, on s'intéressera à la quantification de ces résultats, c'est-à-dire
$$
Pu \textrm{ petit sur } \Omega, \quad u\textrm{ petit sur }U \Longrightarrow u \textrm{ petit sur } \Omega.
$$
L'outil principal sera les inégalités de Carleman. On donnera aussi des applications au contrôle exact ou approché de la chaleur ou des ondes.

Si le temps le permet, on discutera aussi de la version haute fréquence et de la contrôlabilité exacte des ondes sous la condition de contrôle géométrique.

Contenu

• Inégalités de Carleman pour des opérateurs elliptiques: application au contrôle de la chaleur
• Prolongement unique pour des opérateurs réels indépendants d'une variable: application au contrôle approché des ondes

Prérequis

Bibliographie

• Jérôme Le Rousseau et Gilles Lebeau. On Carleman estimates for elliptic and parabolic operators. Applications to unique continuation and control of parabolic equations. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 18(3):712--747, 2012
• Lars Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators, volume IV, chap 28. Springer-Verlag, Berlin, 1994.
• Lars Hörmander. On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analyticity assumptions. In Geometrical optics and related topics (Cortona, 1996), volume 32 of Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., pages 179--219. Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997.