Courbes elliptiques

Marc Hindry (Travaux dirigés par Dominique Bernardi)

Contact : marc.hindry à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le but du cours est de présenter les bases de la théorie des courbes elliptiques, principalement du point de vue de la géométrie et de l'arithmétique. On démontrera notamment les deux principaux théorèmes diophantiens classiques de Siegel (finitude des points entiers) et Mordell-Weil (génération finie du groupe des points rationnels) et on abordera quelques outils utilisés notamment dans les travaux de Wiles : courbes modulaires et représentations galoisiennes.

Contenu

Fonctions elliptiques
Loi de groupe algébrique sur une courbe elliptique
Théorèmes de Mordell-Weil (points rationnels) et Siegel (points entiers)
Hauteur de Néron-Tate
Fonction L d'une courbe elliptique
Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Prérequis

Les prérequis sont minimaux, essentiellement un peu de théorie algébrique des nombres et un cours d'introduction à la géométrie algébrique (vocabulaire et théorème de Riemann-Roch sur les courbes).

Bibliographie

Silverman. arithmetic of elliptic curves. Spinger GTM 1986
Silverman. advanded topics arithmetic of elliptic curves. Springer GTM 1994
Nekovar. notes de cours. http://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/el/