Théorie de Lie et représentations I

David Hernandez (Travaux dirigés par Luca Moci)

Contact : david.hernandez à imj-prg.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d'autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...).

Le but de ce cours est double : d'une part (cours I) donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations, et d'autre part (cours II) étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes.

Contenu

Algèbres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, motivations et lien avec les groupes de Lie.
Catégories de représentations d'une algèbre de Lie, représentations irréductibles, représentations semi-simples. Représentation adjointe.
Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl).
Structure des algèbres de Lie semi-simples, présentation de Serre. Systèmes de racines, groupe de Weyl.
Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples, catégorie O.
Structure tensorielle, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck.

Prérequis

Connaissances requises : a priori aucune, si ce n'est l'algèbre linéaire standard.

Bibliographie

J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. 1964 lectures given at Harvard Uni- versity, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)
W. Fulton et J. Harris. epresentation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, 129 (3 ème édition, 2004)
J. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978
V. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990