Cours fondamental 1 (Lie)
Théorie de Lie et représentations II
David Hernandez
(Travaux dirigés par Luca Moci)
Contact : david.hernandez à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques
qui a de nombreuses applications à d'autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...)
mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...).
Le but de ce cours est double : d'une part (cours I) donner une introduction aux concepts
et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations,
et d'autre part (cours II) étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes.
Contenu
- Structure des algèbres de Kac-Moody symétrisables.
- Catégorie des représentations intégrables dans la catégorie O.
- Algèbres de lacets et extensions. Isomorphisme entre les présentations des algèbres affines.
- Catégorie des représentations de dimension finie. Représentations d'évaluation. Paramétrisation des représentations simples par les polynômes de Drinfeld.
- Groupes quantiques, équation de Yang-Baxter quantique et R-matrice universelle.
- Anneau de Grothendieck et q-caractères, matrices de transfert, spectre quantique et systèmes intégrables quantiques.
Prérequis
Cours Théorie de Lie et représentations I
Bibliographie
- V. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990
- D. Hernandez. An Introduction to Affine Kac-Moody Algebras. CTQM Master Class Series 2 (2006), 1--20
- V. Chari and A. Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
- P. Etingof, I. Frenkel and A. Kirillov. Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations. Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998
- E. Frenkel. Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007