Dynamiques et spectres

Viviane Baladi

Contact : viviane.baladi à ens.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le spectre des opérateurs de transfert de Ruelle-Perron-Frobenius est utilisé depuis plus de 40 ans pour comprendre certaines propriétés ergodiques des dynamiques chaotiques. Depuis une dizaine d'années, la puissance de cet outil a été démultipliée par l'introduction de "bons" espaces sur lesquels faire agir ces opérateurs. Ceci a permis de débloquer des problèmes en attente depuis des décennies (p. ex. conjecture de Smale sur la fonction zêta dynamique [Giulietti-Liverani-Pollicott]). Récemment, des méthodes semi-classiques ont permis d'obtenir des résultats très intéressants dans le cadre lisse (par exemple pour des flots géodésiques en courbure variable [Gouezel]). Dans ce cours, qui donnera une ouverture sur de nombreux sujets de recherche actuels, nous aborderons des constructions plus pédestres, dont la flexibilité permet d'obtenir des résultats fins en basse régularité, voire en présence de singularités.

Contenu

L'opérateur de transfert pour le modèle-jouet de la dynamique dilatante ou dilatante par morceaux. (Espaces de Banach ou de Hilbert de fonctions.)
Conséquences des propriétés spectrales (vitesse de mélange, fonctions zêta, théorèmes limites, stabilité stochastique, réponse linéaire...).
L'opérateur de transfert des dynamiques hyperboliques différentiables. (Espaces de Banach ou de Hilbert de distributions anisotropes.)
Si le temps le permet: quelques mots sur les dynamiques hyperboliques ou dilatantes à temps continu.

Prérequis

Eléments de théorie ergodique et dynamique (p. ex. cours Math. Fondamental de P. Le Calvez). Des notions de dynamique hyperbolique (p. ex cours de F. Le Roux) seraient utiles. Bases d'analyse fonctionnelle (des rappels seront faits).

Bibliographie

V. Baladi. Positive Transfer Operators and Decay of Correlations. Book Advanced Series in Nonlinear Dynamics, Vol 16, World Scientific, Singapore (2000) URL
V. Baladi et M. Tsujii. Dynamical determinants and spectrum for hyperbolic diffeomorphisms. pp. 29--68, in Contemp. Math. 469 (Amer. Math. Soc.) (2008). http://www.math.ens.fr/~baladi/DynDet.pdf
P. Giulietti, C. Liverani et M. Pollicott. Anosov Flows and Dynamical Zeta Functions. Annals of Mathematics, 178 (2013) 687--773 http://annals.math.princeton.edu/2013/178-2/p06
S. Gou\"ezel. Spectre du flot géodésique en courbure négative [d'après F. Faure et M. Tsujii]. Séminaire Bourbaki 21/3/2015 http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1098.pdf