Groupes algébriques et espaces homogènes

Patrick POLO

Contact : patrick.polo à imj-prg.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~polo/

Présentation

Le but du cours est de fournir une introduction aux groupes semi-simples (ou plus généralement réductifs) sur un corps algébriquement clos $k$, et à leurs actions sur diverses variétés (variétés homogènes, représentations, etc.) Ce cours n'est pas orienté vers un cours spécialisé donné mais, comme les groupes semi-simples (sous la forme de groupes de Lie réels ou complexes ou de groupes algébriques sur un corps $k$) apparaissent dans plusieurs domaines, on espère que ce cours sera une introduction utile à ce sujet.

Contenu

Survol des résultats de structure: les tore maximaux (resp. sous-groupes de Borel) sont tous conjugués.
Données radicielles et classification des groupes réductifs. Exemples.
Variétés homogènes $G/H$, en particulier dans le cas où $H$ est un sous-groupe parabolique (variétés de drapeaux).
Représentations de $G$ obtenues à partir d'un espace homogène $G/H$ et d'une représentation de $H$. En particulier, classification des représentations irréductibles par leur plus haut poids (théorie de Borel-Weil).
Éventuellement, bref aperçu de la construction du quotient $X//G$ lorsqu'un groupe réductif $G$ agit sur une variété affine $X$.

Prérequis

Systèmes de racines et classification des algèbres de Lie semi-simples complexes. Rudiments de géométrie algébrique, en particulier les notions de variétés algébriques et de morphismes entre elles.

Bibliographie

James E. Humphreys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Grad. Texts Math. 9 (3rd printing), Springer-Verlag, 1980
Patrick Polo. Notes de cours de M2 2005-2008. http://www.math.jussieu.fr/~polo/
T. A. Springer. Linear Algebraic Groups. Progress Math. 9 (2nd printing), Birkhauser, 1983
G. W. Schwarz, M. Brion. Théorie des invariants et géométrie des variétés quotientss. Travaux en cours 61, Hermann, 2000
H. Hiller. Geometry of Coxeter Groups. Research Notes Math. 54, Pitman, 1982
P. E. Newstead. Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces. T.I.F.R. and Narosa Publ. House, 1978, new printing 2012