Cours spécialisé (HFE, Dyn)
Contact : stephane.nonnenmacher à cea.fr
Pas de notes de cours prévues.
Un des objectifs du ``chaos quantique" est de comprendre la structure des modes stationnaires de systèmes ondulatoires (ou quantiques), dont la limite de haute fréquence (limite semiclassique) est chaotique.
On traitera essentiellement un exemple emblématique de système chaotique, le flot géodésique sur une variété riemannienne compacte de courbure sectionnelle négative $(M,g)$; le système quantique correspondant est le laplacien $\Delta_g$ associé à la métrique, qui admet une infinité de modes stationnaires (ou modes propres).
L'objectif principal du cours sera de montrer un théorème fondamental relié à cette question, le théorème d'ergodicité quantique. Il s'agit de montrer que ``presque tous" les modes propres du laplacien s'équidistribuent sur $M$ (dans un sens faible, à définir proprement), dans la limite de haute fréquence.
Ce théorème (dû à Shnirelman, Zelditch et Colin de Verdière) utilise la propriété d'ergodicité du flot géodésique sur une telle variété. Sa preuve fait appel aux outils d'analyse semiclassique développés dans le cours du premier semestre, qui seront adaptés ici au cas des variétés.
On discutera ensuite de raffinements et de généralisations plus récents de ce théorème. Par exemple, on cherchera à analyser la structure des modes propres approchés (quasimodes) du laplacien.
On étendra aussi le résultat principal à des systèmes Hamiltoniens plus généraux que le flot géodésique.