Cours fondamental 1 (HFE, Dyn)
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En mécanique quantique, l'état d'une particule à l'instant $t$ est décrit par une fonction d'onde $u(x,t)$ sur $\mathbb{R}^d$; son évolution temporelle est gouvernée par l'équation de Schrödinger, de la forme
$$
i\hbar\partial_t u(t) = P(\hbar) u(t),
$$
où $P(\hbar)$ est habituellement un opérateur différentiel d'ordre $2$, typiquement $P(\hbar)=-\frac{\hbar^2\Delta}{2m} + V(x)$, avec $m$ la masse de la particule, et $V(x)$ le potentiel dans lequel elle évolue. Cette équation dépend explicitement de $\hbar$, une constante physique appelée constante de Planck, qui est microscopique ($\hbar\approx 10^{-34}$ dans le système d'unités international).
L'analyse semiclassique a pour object d'analyser cette équation, et donc l'opérateur $P(\hbar)$, dans le régime asymptotique où $\hbar\ll 1$. Cette limite est hautement singulière, puisque $\hbar$ précède les termes dérivatifs de plus haut degré. L'analyse semiclassique parvient à contourner cette singularité, et à faire le lien entre cette EDP et la mécanique classique d'une particule ponctuelle, qui est gouvernée par les équations de Newton (ou de Hamilton).
Précisément, on montrera comment relier les propriétés qualitatives et quantitatives du spectre de l'opérateur $P(\hbar)$, dans cette limite $\hbar\to +0$, aux propriétés du flot Hamiltonien correspondant.
On se concentrera sur des situations où $P(\hbar)$ est essentiellement auto-adjoint, et a un spectre purement discret. Nos méthodes permettent alors d'étudier la densité spectrale, ainsi que les propriétés de localisation des modes propres, à la fois dans l'espace et dans l'espace de Fourier.