Cours fondamental 2 (GT,Lie)
Variétés hamiltoniennes et quantification géométrique
Xiaonan Ma
Contact : xiaonan.ma à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Présentation
La première partie de mon cours est une introduction
sur la géométrie symplectique et l’action de groupe sur les variétés.
Le concept central est l’application moment associée à une action
d’un groupe sur une variété symplectique.
La deuxième partie de mon cours est des applications variées reliée
à l’application moment: localisation, quantification géométrique,
théorie de représentation, Théorie géométrique des invariants etc.
Contenu
- Variétés symplectiques, Variétés Hamiltoniennes, Définitions.
- Théorème de Darboux
- les groupes de cohomologie d'un groupe de Lie et de son algèbre de Lie
- L’application moment et réduction symplectique
- Examples de réduction symplectique : variétés torique et polytope de Delzant, l'espace de module de $G$-fibrés principaux plats sur une surface de Riemann compacte.
- Convexité de l’application moment. Application moment et Orbites fermées pour l’action d’un groupe réductif complexe. Cohomologie équivariante et classes caractéristiques, La formule de localisation de Duistermaat-Heckman et Berline-Vergne Image de la mesure de Liouville par l’application moment et volumes des espaces réduits. Prequantification, action et moment, Example 1: variétés torique Example 2: Théorème de Borel-Weil-Bott sur la réalisation géométrie de représentation irréductible d'un groupe de Lie compact connexe Quantification géométrique Théorie géométrique des invariants et la réduction symplectique Quantification commute à la réduction symplectique
Prérequis
variétés différentielles.
Bien que je n’assume pas la base sur le groupe de Lie,
mais le cours de Harris et Hernandez "Théorie
de Lie et représentations’ vous aidera de comprendre
mieux en particulier la deuxième partie de mon cours.
Bibliographie
- X. Ma. Hamiltonian manifolds and geometric quantizations.. Poly de mon cours.
- Cannas da Silva,. Lectures on symplectic geometry. . Lecture Notes in Mathematics, 1764. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xii+217 pp.
- V. Guillemin, S. Sternberg, . Symplectic techniques in physics. . Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. xii+468 pp.
- M. Vergne. Quantification géométrique et réduction symplectique.. Séminaire Bourbaki, Vol. 2000/2001. Astérisque No. 282 (2002), 249-278.