Cours spécialisé (GA, TN)

Points de hauteur bornée dans les structures o-minimales et géométrie diophantienne

François Loeser

Contact : francois.loeser à imj-prg.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

Les structures o-minimales constituent un cadre général pour la géométrie modérée au sens de Grothendieck. Pila et Wilkie ont démontré un théorème de comptage des points rationnels de hauteur bornée dans ces structures qui a eu récemment des retombées spectaculaires en géométrie diophantienne. L'objectif du cours est de présenter en détail le théorème de Pilka-Wilkie et d'exposer certaines de ses applications (nouvelle preuve par Pila-Zannier de la conjecture de Manin-Mumford, théorème de Masser-Zannier sur la torsion des courbes elliptiques, résultats de Pila sur la conjecture d'André-Oort pour la fonction $j$).

Contenu

• Structure o-minimales. Théorème de compacité
• La preuve de Doerge du théorème d'irréductibilité de Hilbert
• Reparamétrisations de Yomdin-Gromov
• Le théorème de Pilka-Wilkie
• Applications à la conjecture de Manin-Mumford et la torsion des courbes elliptiques
• Résultats de Pila sur la conjecture d'André-Oort pour la fonction $j$

Prérequis

Bibliographie

• J. Pila, A. Wilkie. The rational points of a definable set. Duke Math. J. 133 (2006), no. 3, 591–616 URL
• J. Pila, U. Zannier. Rational points in periodic analytic sets and the Manin-Mumford conjecture.. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 19 (2008), no. 2, 149–162.
• D. Masser, U. Zannier. Torsion anomalous points and families of elliptic curves. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), no. 9-10, 491–494.
• J. Pila. O-minimality and the André-Oort conjecture for $\mathbb{C}^n$. Ann. of Math. (2) 173 (2011), no. 3, 1779–1840.
• T. Scanlon. A proof of the André-Oort conjecture using mathematical logic [after Pila, Wilkie and Zannier]. Astérisque, Séminaire Bourbaki, Exposé 1037, 2010 - 2011.