Eléments d'analyse pour le master

Nicolas Lerner

Contact : nicolas.lerner à imj-prg.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~lerner/index.m2intro.html

Présentation

Le cours commencera par une présentation détaillée de la transformation de Fourier des distributions tempérées, qui sera suivie par quelques applications comme la formule de Poisson et la méthode de la phase stationnaire. On abordera ensuite les estimations classiques pour la convolution, inégalité de Young, de Hardy-Littlewood-Sobolev. On démontrera ensuite l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg et les théorèmes d'injection de Sobolev. Le cours se terminera par quelques résultats de base sur le calcul pseudodifférentiel, notamment des résultats de continuité $H^s$ et l'inégalité de Gårding. Ce cours sera utile pour les étudiants souhaitant suivre les cours fondamentaux de S. Nonnenmacher et N.Lerner.

Contenu

Analyse de Fourier et applications
Inégalités de Young, de Hardy-Littlewood-Sobolev
Inégalité de Gagliardo-Nirenberg
Théorèmes d'injection de Sobolev
Calcul pseudodifférentiel

Prérequis

Une bonne familiarité avec la mesure de Lebesgue et une connaissance sommaire de la transformation de Fourier pourront \^{e}tre utiles.

Bibliographie

J. Duoandikoetxea. Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. URL
L. Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer-Verlag, 256.
N. Lerner. Metrics on the Phase Space and Non-Selfadjoint Pseudo-Differential Operators. Birkhäuser Verlag, 2010
N. Lerner. A Course on Integration Theory. Birkhäuser Verlag, 2014
C. Sogge. Fourier integrals in classical analysis. Cambridge Tracts in Mathematics, 105, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
E.M. Stein. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. with the assistance of Timothy S. Murphy, Princeton Mathematical Series, 43, Monographs in Harmonic Analysis, III, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.