Cours fondamental 1 (Analyse, EDP)

Fluides parfaits incompressibles

Christophe Lacave

Contact : christophe.lacave à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

L'obtention des équations gouvernant l'évolution des fluides a nécessité plusieurs siècles de travaux : depuis Archimède (297-212 av JC) à Navier et Stokes (1845). Mais même si ces équations sont désormais connues, leur résolution reste l'un des enjeux majeurs de la recherche actuelle (tant d'un point de vue théorique que pratique). A tel point que la fondation Clay y consacre l'un des problèmes du millénaire. Dans ce cours, nous établirons brièvement ces équations dans le cas d'un fluide visqueux (exemple : l'eau) et idéal/parfait (exemple : l'air), puis nous donnerons les principales questions ouvertes concernant les équations de Navier-Stokes (fluide visqueux). Nous travaillerons plus précisément sur les équations d'Euler (fluide idéal) qui présentent une structure particulièrement intéressante en dimension deux (à la frontière entre les problèmes elliptiques, hyperboliques et d'analyse complexe).

Contenu

• Dérivation des équations des fluides incompressibles.
• Résumé des principaux résultats sur les fluides visqueux : solution faible de Leray et problème ouvert sur l'unicité des solutions fortes (problème du millénaire).
• Equations d'Euler en dimension N : existence locale de solution régulière (dont l'inégalité de Gagliardo- Niremberg), critère d'explosion de Beale-Kato-Majda.
• Equations d'Euler dans $R^2$ : quantités conservées en dimension deux, inégalité de Calderon-Zygmund, théorème de Yudovich, formulation lagrangienne, théorème de Delort.
• Equations d'Euler dans les sous-domaines de R^2 : lien entre Euler 2D et le problème de Laplace, décomposition de Hodge deRham et loi de Biot-Savart, utilisation des outils d'analyse complexe pour l'étude des champs harmoniques, stabilité des équations d'Euler par rapport à la déformation du domaine (convergence d'Hausdorff, gamma convergence et capacité), croissance de la norme $W^{1,\infty}$ du tourbillon.

Prérequis

Bibliographie

• Chemin. fluides parfaits incompressibles.
• PL Lions. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol1 Incompressible Models.
• Majda & Bertozzi. vorticity and incompressible flow.