Géométrie tropicale

Ilia Itenberg

Contact : ilia.itenberg à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le but du cours est de présenter les notions de base et plusieurs applications de la géométrie tropicale, un domaine mathématique qui a connu un progrès spectaculaire pendant les quinze dernières années. La géométrie tropicale peut être vue comme une géométrie algébrique sur le semi-corps des nombres tropicaux, c'est-à-dire, les nombres réels complétés par $-\infty$ et munis de l'arithmétique $(max, +)$. Géométriquement, les variétés tropicales sont beaucoup plus simples que leurs analogues classiques (par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont certains graphes rectilignes). Néanmoins, elles portent une information importante concernant des variétés complexes et réelles. On parlera tout particulièrement de courbes tropicales et d'applications de la géométrie tropicale en géométries énumératives réelle et complexe.

Contenu

Nombres tropicaux, déquantification de Maslov des nombres réels strictements positifs.
Courbes tropicales (en particulier, courbes tropicales vues comme limites tropicales de surfaces de Riemann).
Géométrie tropicale énumérative. Diagrammes en étages.
Applications en géométries énumératives réelles et complexe : approche tropicale au dénombrement de courbes algébriques. Résultats concernant les invariants de Gromov-Witten et les invariants de Welschinger.
Variétés tropicales.
Groupes d'homologie tropicaux. Théorie d'intersection tropicale et applications.

Prérequis

Cours "Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles" de M2. Familiarité avec la géométrie complexe (cours "Géométrie complexe et théorie de Hodge" de M2).

Bibliographie

P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah (éd.). Géométrie tropicale. Journées mathématiques X-UPS 2008, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2008.
I. Itenberg, G. Mikhalkin et E. Shustin. Tropical Algebraic Geometry. Birkhauser, Oberwolfach Seminars Series, vol. 35, 2007.