Cours fondamental 2 (GA, GT)
Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles
Ilia Itenberg
Contact : ilia.itenberg à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
Dans ce cours, on étudiera principalement les courbes algébriques dans le plan projectif réel et les surfaces algébriques dans l'espace projectif réel de dimension 3. La topologie de ces variétés fait l'objet de la première partie du 16-ème problème de D. Hilbert. On parlera de restrictions classiques sur la topologie des variétés algébriques réelles, ainsi que de constructions de ces variétés (en particulier, on présentera le patchwork de Viro, une construction qui est directement liée à la géométrie tropicale).
Contenu
- Courbes algébriques réelles planes et projectives.
- Inégalité de Harnack. Courbes maximales.
- Restrictions classiques sur la topologie des courbes réelles. Isotopies rigides.
- Constructions (méthode de petites perturbations et patchwork de Viro).
- Surfaces algébriques dans l'espace projectif réel de dimension 3.
- Problèmes de classification des variétés réelles dans une classe donnée de déformation de variétés complexes.
Prérequis
Cours introductif "Surfaces de Riemann" de M2.
Cours fondamental I "Topologies différentielle et algébrique des variétés" de M2.
Il serait préférable (mais pas absolument nécessaire) d'avoir une certaine familiarité avec la géométrie algébrique (cours introductif "Les outils de la géométrie algébrique" de M2).
Bibliographie
- G. Wilson. Hilbert's sixteenth problem. Topology 17 (1978), 53 - 74.
- A. Degtyarev, V. Kharlamov. Topological properties of real algebraic varieties : Rokhlin's way. Russian Math. Surveys 55 (2000), no. 4, 735 - 814.