Théorie de Lie et Représentations

David Hernandez (Travaux dirigés par Luca Moci)

Contact : david.hernandez à imj-prg.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~hernandez/resumedan2.pdf

Présentation

La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d'autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...).

Le but de ce cours est double : d'une part donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, et d'autre part étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes.

Lors du cours "Fondamental 1" (qui fait suite au cours "Introductif") l'accent sera tout particulièrement mis sur ces généralisations et applications.

Contenu

Algèbres de Lie de dimension infinie, algèbres de Kac-Moody.
Catégorie des représentations intégrables dans la catégorie $\mathcal{O}$.
Algèbres de lacets, algèbres affines.
Groupes quantiques, algèbres de Hopf.
Equation de Yang-Baxter.
Application aux systèmes intégrables quantiques.

Prérequis

Cours introductif (M. Harris et D. Hernandez) : "Théorie de Lie et Représentations".

Bibliographie

J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. 1964 lectures given at Harvard Uni- versity, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)
W. Fulton et J. Harris. Representation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, 129 (3 ème édition, 2004)
V. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990
P. Etingof, I. Frenkel et A. Kirillov. Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations. Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998
V. Chari et A. Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
E. Frenkel. Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007 http://math.berkeley.edu/~frenkel/loop.pdf