Cours introductif (Lie)
Théorie de Lie et représentations
Michael Harris
Contact : michael.harris à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d’autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...).
Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations
Contenu
- Algèbres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, motivations et lien avec les groupes de Lie.
- Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, semi-simples.
- Catégories de représentations d’une algèbre de Lie, représentations irréductibles, représentations semi-simples. Représentation adjointe.
- Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl). - Structure des algèbres de Lie semi-simples. Systèmes de racines, groupe de Weyl.
- Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples. - Catégorie O. Paramétrisation des représentations simple. Séries de Jordan-Holder.
- Multiplicité d’une représentation simple dans une représentation de la catégorie O. - Représentations de dimension finie, paramétrisations par les poids dominants. - Structure tensorielle, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck.
Prérequis
Aucun prérequis n'est nécessaire.
Bibliographie
- J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)
URL
- W. Fulton et J. Harris. Representation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, 129 (3 ème édition, 2004).
- J. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978
- J-P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes. . Benjamin 1966