Les outils de la géométrie algébrique

Antoine Ducros

Contact : ducros à math.jussieu.fr

Notes de cours : https://www.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf

Présentation

Le but de ce cours est d'introduire un certains nombres d'outils et notions, dans différents domaines (catégories, algèbre commutative, théorie des faisceaux), qui sont constamment utilisés en géométrie algébrique à la Grothendieck. Conçu dans l'optique de préparer au cours d'introduction à la théorie des schémas, il peut présenter un intérêt pour tout étudiant intéressé par l'algèbre et la géométrie au sens large.

Contenu

Le langage des catégories : catégories, foncteurs, équivalence de catégories, foncteurs représentables, produits fibrés, foncteurs adjoints.
Algèbre commutative : idéaux premiers et maximaux, localisation, éléments entiers, going-up et going-down, normalisation de Noether, Nullstellensatz, dimension de Krull, produit tensoriel.
Théorie des faisceaux : préfaisceaux, faisceaux, images directes et inverses de faisceaux, espaces anneés, espaces localement annelés, faisceaux de modules.

Prérequis

Il n'y a pas techniquement énormément de prérequis, sinon les définitions de base de l'algèbre commutative (anneaux, idéaux, modules...) ; mais une solide aisance en la matière est préférable. Je ne suivrai pas de livre spécifique ; je donne à titre purement indicatif deux références, le Matsumura pour l'algèbre commutative, et le chapitre II, paragraphe 1 du Hartshorne pour les faisceaux.

Bibliographie

R. Harsthorne. Algebraic Geometry. Graduate texts in math. 52, Springer-Verlag
H. Matsumura. Commutative ring theory. Cambridge Studies in advanced math. 8, Cambridge University Press