Introduction à la théorie des schémas

Antoine Ducros

Contact : ducros à math.jussieu.fr

Notes de cours : https://www.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf

Présentation

Le langage des schémas a été introduit par Grothendieck (et son école) dans les années 50-60 avec en ligne de mire les conjectures de Weil ; il permet de manipuler des variétés algébriques sur un corps ou même un anneau quelconques, et est toujours le cadre de travail de la géométrie algébrique contemporaine. On peut par exemple, grâce à lui, étant donné un système d'équations S à coefficients dans Z, voir les variétés définies par S sur les différents corps F_p (par réduction modulo p des équations) ainsi que sur Q (en oubliant que les coefficients sont entiers) comme les fibres d'un certain morphisme, et donc penser à cette collection de variétés (dont le corps de définition varie) comme à une famille, au sens géométrique du terme.

Contenu

Spectre d'un anneau commutatif.
Définition d'un schéma ; schémas irréductibles, composantes irréductibles, dimension... Morphismes de sch\emas.
Foncteur des points d'un schéma.
Faisceaux quasi-cohérents, immersions fermées.
Schémas projectifs, morphismes projectifs.
Si le temps le permet : faisceau des différentielles, lissité.

Prérequis

Je me fonderai sur le cours introductif Les outils de la géométrie algébrique. Je m'inspirerai assez librement du chapitre II du Hartshorne ; je conseille également la lecture de l'introduction de EGA.

Bibliographie

R. Harsthorne. Algebraic Geometry. Graduate texts in math. 52, Springer-Verlag
A. Grothendieck et J. Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 166, Springer-Verlag