Cours fondamental 2 (TN)
Contact : jean-francois.dat à imj-prg.fr
Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~dat/enseignement/enseignement.php
Les formes modulaires sont des fonctions méromorphes sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant une propriété d'invariance pour l'action d'un sous-groupe convenable $\Gamma$ de $SL_2(\mathbb Z)$. Malgré une définition d'apparence analytique-complexe, ces fonctions recèlent des propriétés arithmétiques remarquables, encodées dans leurs coefficients de Fourier.
La forte cohérence de ces coefficients de Fourier se lit déjà sur la série génératrice de Dirichlet qui leur est associée. On peut en effet montrer que, pour une forme modulaire "primitive", cette série converge sur un demiplan $Re(s)>>0$ et admet un prolongement méromorphe et une certaine équation fonctionnelle. Ces propriétés rappellent étrangement celles de la fonctions $\zeta$ de Riemann par exemple, ou plus généralement des fonctions L de corps de nombres, et plus généralement encore, celles des fonctions L associées aux représentations complexes du groupe de Galois d'un corps de nombres Galoisien sur $\mathbb Q$.
Cette ressemblance n'est pas fortuite. Shimura et Deligne ont en effet montré l'existence, pour toute forme modulaire "primitive" $f$, d'une unique représentation Galoisienne $\ell$-adique de dimension $2$ du groupe de Galois absolu de $\mathbb{Q}$ telle que pour presque tout nombre premier p, la trace d'une substitution de Frobenius en $p$ soit exactement le $p$-ème coefficient de Fourier de $f$.
Le cours se propose d'expliquer ce résultat dans le cas le plus simple. Le point sera d'interpréter une forme modulaire comme une section d'un certain fibré en droite sur une certaine "courbe modulaire", laquelle paramètre les courbes elliptiques munies de certaines "structures supplémentaires".