Topologies différentielle et algébrique des variétés

Nicolas Bergeron et Grégory Ginot (Travaux dirigés par Antonin Guilloux)

Contact : bergeron à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

La topologie algébrique fait un pont entre la géométrie et l'algèbre. Dans ce cours nous nous concentrerons sur l'étude des variétés différentielles.

Le but est de classer, à difféomorphisme près, les variétés différentielles en leur associant des invariants de nature algébrique (nombres entiers, groupes, anneaux, ...).

Les idées et images issues de la topologie algébrique irriguent l'ensemble des mathématiques modernes. Le but de ce cours est de les exposer dans leur cadre originel
en suivant le plan général proposé, il y a près de 130 ans, par Poincaré dans ses mémoires fondateurs sur l'``Analysis Situs''. La présentation, le style, les démonstrations
et les méthodes employées seront par contre celles du 21ème siècle.

Contenu

Variétés, homotopie des applications et homotopie entre espaces, rétraction (par déformation), contractibilité, revêtements.
Notion abstraite de théorie homologique des variétés. Calculs et applications d'une telle théorie.
Construction d'une théorie homologique. Complexes simpliciaux et polyèdres. Triangulation des variétés. Homologie simpliciale. Formule d'Euler-Poincaré. Homologie Singulière.
Intersection, dualité de Poincaré et cohomologie.
Théorème de de Rham PL, cup-produit.
Groupe fondamental, lien avec l'homologie.

Prérequis

Connaissances de topologie générale et géométrie différentielle de maîtrise. Cela pourra aider d'avoir suivi les cours introductifs de géométrie différentielle et/ou surfaces de Riemann. Il y a par ailleurs un cours introductif à Paris 7 sur le même sujet mais avec un point de vue différent.

Bibliographie

Allen Hatcher. Algebraic Topology.
Glen Bredon. Topology and Geometry.
Claude Godbillon. Eléments de topologie Algébrique.
William Fulton. Algebraic Topology: a first course .
William Massey. A basic course in algebraic topology.
Frédéric Paulin. Topologie algébrique élémentaire. http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/liste_notescours.html