Une introduction à l'analyse semi-classique

Frédéric Klopp

Contact : klopp à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Ce cours se veut une introduction à l'analyse semi-classique des équations aux dérivées partielles. On se concentrera sur le cas de l'équation de Schrödinger.

L'analyse semi-classique peut être définie comme l'analyse d'équations aux dérivées partielles dépendant d'un petit paramètre. Son origine se trouve dans l'analyse de l'équation de Schrödinger issue de la mécanique quantique
$$ ih\frac{\partial}{\partial t}u=-h^2\Delta u+Vu,\quad u_{|t=0}=u_0$$
ou de l'équation aux valeurs propres associée
$$ -h^2\Delta u+Vu,\quad u_{|t=0}=E u.$$
On cherche à décrire le comportement des solutions de ces équations dans la limite $h\to0^+$. En particulier, on cherche à mettre en évidence les relations entre le comportement des solutions de ces équations et celui du système dynamique classique associé défini par le hamiltonien $H(x,\xi)=\xi^2+V(x)$.

Contenu

Géométrie symplectique locale.
Construction de solutions approchées : la méthode WKB.
Opérateurs auto-adjoints.
La transformée de Fourier et la méthode de la phase stationnaire.
Opérateurs $h$-pseudo-différentiels et quantification.
Valeurs propres et vecteurs propres dans la limite semi-classique.

Prérequis

Une bonne connaissance de l'analyse réelle, de théorie des distributions et de l'analyse fonctionnelle de master 1 est requise.

Bibliographie

Maciej Zworski. Semi-classical analysis. . Graduate Studies in Mathematics, Volume 138. AMS 2012
M. Dimassi et J. Sjöstrand. Spectral asymptotics in the semi-classical limit.. London Mathematical Society Lecture Note Series, no 268. Cambridge University Press, 1999.
Bernard Helffer. Semi-classical analysis for the Schroedinger operator and applications. Lecture Notes in Mathematics, no 1336. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
André Martinez. An introduction to semiclassical and microlocal analysis. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2002.