Une introduction à la théorie de Hodge p-adique

Gerard Freixas Montplet

Contact : freixas à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le but du cours est de présenter les premiers résultats qui conduirent au développement de la théorie de Hodge p-adique telle que nous la connaissons aujourd'hui. En particulier, le cours abordera les résultats de Tate sur la décomposition de Hodge-Tate pour les groupes $p$-divisibles, ainsi que des versions géométriques s'appliquant aux schémas abéliens sur des corps p-adiques. Ces résultats fourniront une motivation pour introduire l'anneau des périodes de Fontaine $B_{dR}$, qui servira ensuite à établir le théorème de comparaison étale - de Rham pour les schémas abéliens. Finalement, si le temps le permet, on énoncera les théorèmes de comparaison de Faltings.

Contenu

Théorie de la ramification
Groupes $p$-divisibles et leur décomposition de Hodge-Tate.
Rappels sur les schémas abéliens et leur cohomologie.
Décomposition de Hodge-Tate pour les schémas abéliens, d'après Fontaine et Coleman.
Quelques éléments sur les anneaux de périodes $p$-adiques.
Extensions vectorielles et théorèmes de comparaison étale - de Rham.

Prérequis

Théorie algébrique des nombres. Géométrie algébrique.

Bibliographie

John Tate. p-divisible groupes. Proc. Conf. Local fields, 1967
Jean-Marc Fontaine. Formes différentielles et modules de Tate des variétés ab\eliennes sur les corps locaux. Invent. Math. 65 (1981/1982)
Coleman, Robert. Hodge-Tate periods and p-adic abelian integrals. Invent. Math. 78 (1984)
Barry Mazur and William Messing. Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology. LNM 370, Springer-Verlag, 1974.
Jean-Marc Fontaine. Arithmétique des représentations galoisiennes p-adiques. Astérisque 295 (2004)