Cours spécialisé (TN, GA)

Théorie de Hodge p-adique: le point de vue de la courbe

Laurent Fargues

Contact : fargues à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Le but de ce cours est d'exposer un nouveau point de vue sur la théorie de Hodge p-adique qui consiste à définir une certaine "courbe" et étudier les fibrés vectoriels sur celle-ci.
Cette courbe est un schéma sur $\mathbb{Q}_p$ qui est un recollement d'un nombre fini de spectres d'anneaux de Dedekind et est complète en un certain sens mais pas de type fini sur $\mathbb{Q}_p$. On exposera sa construction ainsi que le théorème de classification des fibrés sur celle-ci du point de vue de la théorie de Harder-Narasimhan. Comme application on donnera une preuve des deux théorèmes fondamentaux de la théorie de Hodge p-adique: faiblement admissible implique admissible et la conjecture de monodromie p-adique.

Contenu

• Fonctions rigides analytiques d'une variable d'après Lazard
• Anneaux de périodes p-adiques
• Suite exacte fondamentale en théorie de Hodge p-adique
• Construction de la courbe fondamentale
• Filtrations de Harder-Narasimhan et classification des fibrés
• Preuve des conjectures faiblement admissible implique admissible et de Rham implique potentiellement semi-stable

Prérequis

Bibliographie

• Laurent Fargues et Jean-Marc Fontaine. Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique. Prépublication http://www.math.jussieu.fr/~fargues/Courbe.pdf
• Laurent Fargues et Jean-Marc Fontaine. Vector bundles on curves and p-adic Hodge theory. A paraître aux actes du symposium EPSRC "Automorphic forms and Galois representations" http://www.math.jussieu.fr/~fargues/Durham.pdf
• Laurent Fargues et Jean-Marc Fontaine. Vector bundles and p-adic Galois representations. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics Volume 51, 2011 http://www.math.jussieu.fr/~fargues/beijingcurve_version_finale.pdf
• Michel Lazard. Les zéros des fonctions analytiques d'une variable sur un corps valué complet. Publications Mathématiques de l'IHES vol.14, 1962
• G\"unter Harder et Mudumbai Seshachalu Narasimhan. On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves. Mathematische Annalen 212, 1974/75
• Benedict Gross et Michael Hopkins. Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space. Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992)