Introduction à la théorie de Deligne-Lusztig

Olivier Dudas

Contact : dudas à math.jussieu.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~dudas/notes.html

Présentation

L'objet du cours est la construction et l'étude des représentations linéaires d'une certaine classe de groupes finis appelés "groupes réductifs finis'' ou "groupes finis de type de Lie'' (par exemple GL$_n(q)$, SL$_n(q)$, SP$_{2n}(q)$, ..., E$_8(q)$). Ce sont les équivalents finis des groupes algébriques réductifs et à ce titre on peut construire leurs représentations à partir des objets géométriques standard en théorie de Lie (espaces projectifs, grassmanniennes, variétés de drapeaux...).

C'est ce point de vue, dû à Deligne et Lusztig, que nous adopterons tout au long de ce cours.

Contenu

Variétés de drapeaux et variétés de Schubert
Variétés de Deligne--Lusztig (propriétés géométriques élémentaires et descriptions explicites pour quelques cas dans $GL_n$)
Cohomologie $\ell$-adique, formule des traces
Caractères unipotents et lien avec les algèbres de Hecke par la formule du caractère
Calculs explicites de cohomologie, notamment pour $SL_2$
Conjectures pour les éléments réguliers, et lien avec la conjecture du défaut abélien

Prérequis

Il est conseillé d'avoir suivi les cours sur les groupes algébriques de François Loeser et Jean Michel.

Bibliographie

C. Bonnafé. Representations of SL$_2(q)$. Algebra and Applications, 13. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011. URL
R. W. Carter. Finite groups of Lie type. Wiley Classics Library. John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 1993. Conjugacy classes and complex characters, Reprint of the 1985 original, A Wiley-Interscience Publication.
P. Deligne et G. Lusztig. Representations of reductive groups over finite fields. Annals of Math. 103, 1976
F. Digne et J. Michel. Representations of finite groups of Lie type. volume 21 of London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1991
G. Lusztig. Characters of reductive groups over a finite field. volume 107 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984.