Cours introductif (Lie)

Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations

Jean-François Dat

Contact : dat à math.jussieu.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~dat/enseignement/enseignement.php

Présentation

Le but est d'introduire quelques outils combinatoires fondamentaux en théorie de Lie comme les notions de systèmes de racines et de plus haut poids qui interviennent dans la classification et la théorie des représentations de nombreux objets (groupes de Lie, groupes algébriques, variantes "quantiques").On se placera dans le contexte le plus simple où ils apparaissent, celui des algèbres de Lie et de leurs représentations.

Contenu

• Algèbres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, lien avec les groupes de Lie
• Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, ou semi-simples.
• Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl)
• Structure des algèbres de Lie semi-simples. Systèmes de racines.
• Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples.

Prérequis

Bibliographie

• N. Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie. Hermann 1968
• J. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer 1978
• J.-P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes. Benjamin 1966
• A.A. Kirillov. An introduction to Lie groups and Lie algebras. Cambridge Studies in advanced mathematics 2008 http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/mat552/liegroups.pdf