Cours introductif (TN)
Contact : dat à math.jussieu.fr
Notes de cours : http://people.math.jussieu.fr/~dat/enseignement/enseignement.php
Les objets principaux de ce cours sont les corps de nombres, i.e. les extensions finies de $\mathbb Q$, et leurs anneaux d'entiers.Contrairement à $\mathbb Z$,ces derniers ne sont généralement pas principaux, et n'ont pas la propriété d'unique factorisation. Cependant, on verra que leurs idéaux inversibles possèdent, eux, une propriété d'unique factorisation, et que l'analogue correct d'un "nombre premier" est la notion d'"idéal premier".
Du point de vue algébrique, les idéaux premiers sont les générateurs naturels du groupe des idéaux inversibles de l'anneau d'entiers. Nous verrons comment décomposer l'idéal engendré par un nombre premier en produit d'idéaux premiers, introduirons les notions de ramification et de déploiement, et l'effet de l'action du groupe de Galois, lorsque le corps de nombres est Galoisien. Les idéaux premiers engendrent aussi le "groupe de classes", un invariant très important qui mesure le défaut de principalité. Nous montrerons la finitude de ce groupe de classes.
D'un point de vue plus analytique, les idéaux premiers correspondent aux valeurs absolues "non-archimédiennes" du corps. Nous étudierons les complétions des corps de nombres pour de telles valeurs absolues, qui sont des extensions finies d'un corps $\mathbb Q_p$ de nombres $p$-adiques. On expliquera les implications algébriques et analytiques du lemme de Hensel.
Si le temps le permet, on introduira l'anneau des adèles et on discutera ses propriétés.