Dynamique et rigidité en topologie symplectique

Alexandru Oancea

Contact : oancea à math.unistra.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

À la différence des variétés riemanniennes, les variétés symplectiques n'ont pas d'invariants locaux, étant toutes modelées sur $\mathbb{R}^{2n}$ muni de la forme symplectique standard. Par opposition, leur géométrie globale est très riche. Le but de ce cours est d'illustrer comment des phénomènes de nature dynamique entrainent des phénomènes de rigidité en topologie symplectique, et inversement. L'outil principal est constitué par la théorie des courbes pseudo-holomorphes inventée par Gromov.

Contenu

Géométrie symplectique et géométrie de contact. Motivation, exemples, formes locales, symétries. Flexibilité vs. rigidité.
Équation de Cauchy-Riemann non-linéaire. Théorème de compacité. Espaces de modules de courbes pseudo-holomorphes dont le domaine est une surface de Riemann fermée (à bord).
Théorème de non-tassement. Obstructions à l'existence de plongements lagrangiens. Existence d'orbites périodiques de systèmes hamiltoniens. Fermeture $C^0$ du groupe des difféomorphismes symplectiques dans le groupe des difféomorphismes.
Courbes pseudo-holomorphes dont le domaine est une surface de Riemann épointée. Existence d'orbites de Reeb fermées.

Prérequis

Les cours introductifs suivants : surfaces de Riemann, géométrie différentielle, outils de base en analyse.

Bibliographie

V.I. Arnol'd. Les méthodes mathématiques de la mécanique classique. Éditions Mir, Moscou, 1976 (GTM 60, Springer, 1978).
M. Audin, J. Lafontaine. Holomorphic curves in symplectic geometry. Birkhauser, Basel, 1994.
H. Geiges. An introduction to contact topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008.
H. Hofer, E. Zehnder. Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Birkhauser, Basel, 1994.
D. McDuff, D. Salamon. Introduction to symplectic topology. Oxford Univ. Press, 1998.
D. McDuf, D. Salamon. $J$-holomorphic curves and symplectic topology. AMS Coll. Pub. Vol. 52, AMS, 2004.