Cours fondamental 2 (Géométrie différentielle)
Variétés hamiltoniennes et quantification géométrique (1)
Xiaonan Ma
Contact : ma à math.jussieu.fr
Pas de notes de cours prévues.
Présentation
C'est un cours introductive en géométrie symplectique
et en quantification géométrique.
Le concept fondamental est l'application moment
qui apparaît aux différente contextes comment en
mécanique classique, et en mathématique physique.
Nous allons aussi expliquer le phénomène sur
"la quantification commute à la réduction symplectique".
Contenu
- Variétés symplectiques, Variétés Hamiltoniennes, Définitions. Théorème de Darboux
- L’application moment et réduction symplectique Examples de réduction symplectique : variétés torique et polytope de Delzant, l'espace de module de $G$-fibrés principaux plats sur une surface de Riemann compacte.
- Convexité de l’application moment. Application moment et Orbites fermées pour l’action d’un groupe réductif complexe.
- Cohomologie équivariante et classes caractéristiques, La formule de localisation de Duistermaat-Heckman et Berline-Vergne,Image de la mesure de Liouville par l’application moment et volumes des espaces réduits.
- Prequantification, action et moment, Example 1: variétés torique Example 2: Théorème de Borel-Weil-Bott sur la réalisation géométrie de représentation irréductible d'un groupe de Lie compact connexe
- Opérateur de Dirac spin$^c$ Quantification géométrique Quantification commute à la réduction symplectique
Prérequis
variétés différentielles
Bibliographie
- Audin. Torus actions on symplectic manifolds, . revised ed., Progress in Mathematics, vol. 93, Birkhäuser Verlag, Basel, 2004.
- Guillemin. Moment maps and combinatorial invariants of Hamiltonian $T^n$-spaces.. Progress in Mathematics, 122. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. viii+150 pp.
- Guillemin &Sternberg,. Symplectic techniques in physics. . Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. xii+468 pp.
- Vergne. Variétés hamiltoniennes et Application moment,. Notes de cours de DEA, Paris. http://people.math.jussieu.fr/~vergne/
- Vergne. Quantification géométrique et réduction symplectique.. Séminaire Bourbaki, Vol. 2000/2001. Astérisque No. 282 (2002), 249-278.