Opérateurs de Schrödinger Quasipériodiques : théorie spectrale et dynamique

Raphaël Krikorian

Contact : raphael.krikorian à math.jussieu.fr

Notes de cours : http://www.proba.jussieu.fr/~krikorian/

Présentation

Le but du cours est d'étudier les propriétés spectrales des opérateurs de Schrödinger 1D avec des potentiels quasi-périodiques. Un outil important dans cette approche est l'étude de la dynamique des cocycles de Schrödinger associés. Cette approche, qui a déjà fait ses preuves dans la théorie ces 20 dernières années, est à la base des résultats spectaculaires obtenus récemment par A. Avila.

Contenu

Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, opérateurs de Schrödinger, théorème de Berezansky, opérateurs dynamiquement définis, mesures spectrales et densité intégrée d'états.
Cocycles de Schrödinger, rappels de théorie ergodique, nombre de rotation et exposant de Lyapunov, fonctions m, hyperbolicité uniforme et non-uniforme, théorème d'Oseledec
Liens entre les aspects spectraux et dynamiques, spectre/hyperbolicité, densité d'états/ nombre de rotation. Formule de Thouless
Réductibilité des cocyles, théorie KAM, thórème de Dinaburg-Sinai et d'Eliasson. Liens avec le spectre absolument continu.
Localisation d'Anderson, importance de l'hyperbolicité non-uniforme.
Dualité d'Aubry. Application à l'étude de l'opérateur presque-Mathieu.

Prérequis

Espaces de Hilbert, rudiments d'analyse complexe (fonctions holomorphes et harmoniques), séries de Fourier, théorie de la mesure, ergodicité. Le cours de P. Le Calvez.

Bibliographie

R. Carmona, J. Lacroix . Spectral theory of random Schrödinger operators. Birkhauser
Th. Ransford. Potential theory in the complex plane. LMS
P. Walters. An introduction to ergodic theory. Springer