Cours fondamental 1 (HFE)

Une introduction à l'analyse semi-classique

Frédéric Klopp

Contact : klopp à math.jussieu.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Présentation

Ce cours se veut une introduction à l'analyse semi-classique des équations aux dérivées partielles. On se concentrera sur le cas de l'équation de Schrödinger.

L'analyse semi-classique peut être définie comme l'analyse d'équations aux dérivées partielles dépendant d'un petit paramètre. Son origine se trouve dans l'analyse de l'équation de Schrödinger issue de la mécanique quantique
$$ ih\frac{\partial}{\partial t}u=-h^2\Delta u+Vu,\quad u_{|t=0}=u_0$$
ou de l'équation aux valeurs propres associée
$$ -h^2\Delta u+Vu,\quad u_{|t=0}=E u.$$
On cherche à décrire le comportement des solutions de ces équations dans la limite $h\to0^+$. En particulier, on cherche à mettre en évidence les relations entre le comportement des solutions de ces équations et celui du système dynamique classique associé défini par le hamiltonien $H(x,\xi)=\xi^2+V(x)$.

Contenu

• Géométrie symplectique locale,
• Construction de solutions approchées : la méthode WKB.
• Opérateurs auto-adjoints.
• La transformée de Fourier et la méthode de la phase stationnaire.
• Opérateurs $h$-pseudo-différentiels et quantification.
• Valeurs propres et vecteurs propres dans la limite semi-classique.

Prérequis

Bibliographie

• M. Dimassi et J. Sjöstrand. Spectral asymptotics in the semi-classical limit. London Mathematical Society Lecture Note Series, no 268. Cambridge University Press, 1999.
• Lawrence C. Evans et Maciej Zworski. Lectures on semi-classical analysis. http://math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf
• Bernard Helffer. Semi-classical analysis for the Schroedinger operator and applications. Lecture Notes in Mathematics, no 1336. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
• André Martinez. n introduction to semiclassical and microlocal analysis. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2002.