Cours spécialisé (GA, TN)
Contact : kahn à math.jussieu.fr
Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~kahn/ZetaL.pdf
Deux types de séries de Dirichlet sont associées aux schémas ``arithmétiques": la fonction zêta d'un schéma de type fini sur $\mathbf{Z}$ et la fonction $L$ de $H^i$ d'une variété projective lisse sur un corps global (Serre). Le but du cours est d'étendre ces définitions aux motifs triangulés à la Voevodsky: fonctions zêta pour les motifs sur $\mathbf{Z}$ et fonctions $L$ pour les motifs sur un corps global. Les deux types de fonctions se factorisent en produits eulériens, sont multiplicatives sur les triangles exacts et ont des propriétés de rationalité et d'équation fonctionnelle en égale caractéristique. Dans le cas d'un schéma $S$ de type fini sur $\mathbf{Z}$, la fonction zêta de son motif est égale à la fonction zêta de $S$. Par contre, dans le cas d'une variété projective lisse $X$ sur un corps global, la fonction $L$ associée au motif de $X$ a les mêmes facteurs eulériens que le produit alterné des fonctions $L$ de Serre aux places de bonne réduction, mais pas aux places de mauvaise réduction en général.
Le cours rappellera les fonctions zêta et $L$ ``classiques" et esquissera la preuve de leurs propriétés fondamentales en caractéristique $p$: rationalité, équation fonctionnelle, hypothèse de Riemann. Pour cela, des rappels de cohomologie $l$-adique seront donnés. Ensuite je décrirai les catégories triangulées de motifs utilisées et le formalisme des $6$ opérations de Voevodsky-Ayoub dans ce cadre, en le comparant au formalisme en cohomologie étale. Finalement j'introduirai les fonctions zêta et $L$ de motifs et démontrerai leurs propriétés fondamentales, la plus difficile étant une équation fonctionnelle explicite pour la fonction $L$ d'un motif de Voevodsky sur un corps global de caractéristique positive.
Si le temps le permet, je discuterai aussi des grandes conjectures concernant ces fonctions (conjectures de Lichtenbaum, Soulé, Deligne et Beilinson). Mais le cours proprement dit ne repose sur aucune conjecture.