Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles

Ilia Itenberg (Travaux dirigés par Erwan Brugallé)

Contact : itenberg à math.jussieu.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

Dans ce cours, on étudiera principalement les courbes algébriques dans le plan projectif réel et les surfaces algébriques dans l'espace projectif réel de dimension 3. La topologie de ces variétés fait l'objet de la première partie du 16-ème problème de D. Hilbert. On parlera de restrictions classiques sur la topologie des courbes et des surfaces algébriques réelles, ainsi que de constructions de ces variétés (en particulier, du patchwork de Viro, une construction de variétés algébriques qui est directement liée à la géométrie tropicale).

Contenu

Courbes algébriques réelles planes et projectives.
Inégalité de Harnack. Courbes maximales.
Restrictions classiques sur la topologie des courbes réelles. Isotopies rigides.
Constructions de courbes par la méthode de petites perturbations.
Patchwork de Viro et ses applications. Relations avec la géométrie tropicale.
Surfaces algébriques dans l'espace projectif réel de dimension 3.

Prérequis

Cours "Groupe fondamental et revêtements" de M1. Cours introductif "Surfaces de Riemann" de M2. Il serait préférable (mais pas absolument nécessaire) d'avoir une certaine familiarité avec la géométrie différentielle (cours introductif "Géométrie différentielle" de M2) et la géométrie algébrique (cours introductif "Les outils de la géométrie algébrique " de M2).

Bibliographie

G. Wilson. Hilbert's sixteenth problem. Topology 17 (1978), 53 - 74.
A. Degtyarev, V. Kharlamov. Topological properties of real algebraic varieties: Rokhlin's way. Russian Math. Surveys 55 (2000), no. 4, 735 - 814.