Théorie de Lie, algèbres de Lie de dimension infinie I

David Hernandez

Contact : hernandez à math.jussieu.fr

Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/~hernandez/resumedan2.pdf

Présentation

Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils fondamentaux de la théorie des algèbres de Lie (de dimension finie ou non) et notamment de leur théorie des représentations.

Contenu

Groupes et algèbres de Lie. Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Catégorie des représentations. Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, algèbres de Lie semi-simples. Théorèmes de Lie et de Engel. Critère de Cartan et théorème de Weyl.
Algèbres de Lie de dimension infinie. Présentation de Serre. Classification de Cartan-Killing. Algèbres de Kac-Moody et leur structure. Sous-algèbres de Borel. Décomposition triangulaire. Réseau des poids, groupe de Weyl.
Représentations des algèbres de Kac-Moody. Représentations de plus haut poids, modules de Verma. Catégorie $\mathcal{O}$. Paramétrisation des représentations simples. Représentations intégrables et extrémales. Produit tensoriels, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck. Formule des caractères de Weyl-Kac.

Prérequis

Bibliographie

V. Chari et A. Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
J. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978
V. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990
J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. 1964 lectures given at Harvard Uni- versity, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)